Home » Podstawy » Wartość pieniądza w czasie » Wartość przyszła pieniądza – oprocentowanie złożone zmienne w czasie

Wartość przyszła pieniądza – oprocentowanie złożone zmienne w czasie

W ostatnim wpisie (Wartość przyszła pieniądza – oprocentowanie proste zmienne w czasie) przedstawiłem sposób rozwiązywania zadań, w których mamy do policzenia, np. odsetki od lokaty bankowej przy zmiennym oprocentowaniu, ale bez ich kapitalizacji w trakcie trwania lokaty. W rzeczywistości odsetki są bardzo często kapitalizowane w trakcie trwania lokaty. Zazwyczaj raz do roku w przypadku lokat kilkuletnich. Samo oprocentowanie jest zaś zmienne w czasie. Pokażę zatem jak podejść do rozwiązywania takich zadań.

Przykład 1:
Kowalski wpłacił rok temu 4 000 zł na lokatę bankową. Bank oferował półroczną kapitalizację odsetek oraz zmienne w czasie oprocentowanie. Początkowo wynosiło ono 10% w skali roku. Po 2 miesiącach zostało jednak obniżone do 9%, natomiast od 9 miesiąca trwania lokaty ponownie bank zaoferował 10%. Jakich odsetek Kowalski może się spodziewać (lokata kończy się dziś)?

Rozwiązanie takiego przykładu może wydawać się trudne, niemniej takie nie jest. Najłatwiej jest podzielić okres trwania lokaty na podokresy. Będzie ich tyle ile kapitalizacji oferuje bank w trakcie trwania lokaty. W naszym przypadku będą to dwa półroczne podokresy. Następnie dla każdego z nich wyliczamy średnie oprocentowanie. O tym jak to zrobić napisałem we wpisie na który się powołałem. Warto się z nim zapoznać. Tu umieszczę jedynie jeszcze raz wzór na obliczenie średniego oprocentowania:

Wzór na średnie oprocentowanie przy kapitalizacji prostej

Obliczmy zatem średnie oprocentowanie dla każdego z podokresów:

I połowa roku:
rśr = 1/(1/2) * [(2/12 * 0,10) + (4/12 * 0,09)]
rśr = 2 * 0,0467
rśr = 9,34%
Średnie oprocentowanie w pierwszej połowie roku wynosiło 9,34% (w skali roku)

II połowa roku:
rśr = 1/(1/2) * [(3/12 * 0,09) + (3/12 * 0,10)]
rśr = 2 * 0,0475
rśr = 9,50%
W drugiej połowie roku średnie oprocentowanie wyniosło 9,50% (w skali roku).

Skoro mamy już oprocentowanie lokaty w obu podokresach, możemy obliczyć ile zarobi Kowalski. Poniższy wzór służy do obliczania przyszłej wartości pieniądza dla oprocentowania zmiennego w czasie oraz przy założeniu wielokrotnej kapitalizacji.

Przyszła wartość pieniądza, kapitalizacja wielorotna, zmienne oprocentowanie - wzór

Oznaczenia:
FV – wartość przyszła (Future Value)
PV – wartość bieżąca (Present Value)
n1, n2, …, ni – ilość okresów kapitalizacji z danym oprocentowaniem ri
r1, r2, …, ri – średnie oprocentowanie dla kolejnych okresów kapitalizacji

Podstawiamy teraz dane z zadania do powyższego wzoru:
FV = 4 000 zł * (1 + 0,0934/2)1*(1 + 0,095/2)1
FV = 4 385,53 zł
Kowalski otrzyma z banku 4 385,53 zł. Jego zysk wyniósł zatem niecałe 400 zł.

Przykład 2:
Na początku 2007 roku Kowalski założył w banku konto oszczędnościowe. Odsetki były kapitalizowane kwartalnie. Poniżej zamieszczono oprocentowanie konta w kolejnych miesiącach. Jakiej kwoty klient banku może spodziewać się na koncie na początku 2008 roku jeśli dwa lata wcześniej wpłacił 10 000 zł?
Oprocentowanie konta oszczędnościowego:
styczeń – lipiec 2007: 5,00%
sierpień – listopad 2007: 5,50%
grudzień – marzec 2008: 6,50%
kwiecień – październik 2008: 7,00%
od listopada 2008: 8,00%

Policzmy średnie oprocentowanie konta oszczędnościowego w kolejnych kwartałach (począwszy od pierwszego kwartału 2007 roku).
r1 = 5,00%
r2 = 5,00%
r3 = 1/(1/4) * [(1/12 * 0,05) + (2/12 * 0,055)] = 5,33%
r4 = 1/(1/4) * [(2/12 * 0,055) + (1/12 * 0,065)] = 5,83%
r5 = 6,50%
r6 = 7,00%
r7 = 7,00%
r8 = 1/(1/4) * [(1/12 * 0,07) + (2/12 * 0,08)] = 7,67%

Pamiętać należy, że powyżej obliczone oprocentowanie jest oprocentowaniem w skali roku.
Podstawiamy teraz obliczone dane do wzoru zamieszczonego w tym wpisie:
FV = 10 000 zł * (1 + 0,05/4)2*(1 + 0,0533/4)1*(1 + 0,0583/4)1*(1 + 0,065/4)1*(1 + 0,07/4)2*(1 + 0,0767/4)1
FV = 11 130,17 zł
Kowalski zatem zarobił w banku ok. 130 zł przez 2 lata.

2 thoughts on “Wartość przyszła pieniądza – oprocentowanie złożone zmienne w czasie

  1. ostatnie zadanie chciałabym wiedziec dokładniej jak to wyliczac, czemu r2 tez 5000, komplenie ciemna jestem z tym a moge miec podobne zadanie na kolokwium więc poproszę o wytłumaczenie na email

    1. W przykładzie drugim r to średnie oprocentowanie konta oszczędnościowego w kolejnych kwartałach. Z uwagi na to, że w okresie styczeń – lipiec 2007 oprocentowanie wynosiło 5,00%, r1 i r2 też wynoszą po 5%.

      r1 dotyczy okresu styczeń – marzec
      r2 dotyczy okresu kwiecień – czerwiec

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Możesz użyć następujących tagów oraz atrybutów HTML-a: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>